Bilangan merupakan suatu konsep matematika yang digunakan dalam pencacahan atau pengukuran. Untuk mempermudah pemahaman mengenai Sistem Bilangan Real [kalkulus 1], akan diingatkan kembali tentang pengertian himpunan dan subhimpunan.
Himpunan dan Subhimpunan
Himpunan merupakan sekumpulan obyek yang memenuhi syarat keanggotaan tertentu. Sedangkan subhimpunan atau himpunan bagian merupakan suatu himpunan yang berada dalam himpunan lainnya. Sebagai contoh yang sederhana misal A adalah ‘himpunan semua kucing di bumi’ dan B adalah ‘himpunan semua kucing anggora di bumi’. Jelas bahwa B adalah himpunan bagian dari A atau dapat dituliskan B ⊂ A (B termuat di dalam A).
Dalam suatu himpunan C, jika x merupakan anggota dari himpunan tersebut maka dapat dituliskan x C. Jika x bukanlah anggota dari suatu himpunan C maka dapat dituliskan x C.
Ada beberapa cara yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan. Pertama dengan menuliskan semua anggota-anggotanya. Misal himpunan C dengan beranggotakan bilangan genap 2, 4, 6, 8 ditulis:
C = {2, 4, 6, 8}
Kedua dapat juga dituliskan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan himpunan C yakni untuk x C, x haruslah bilangan genap yang kurang dari 10. Ditulis:
C = { x │ x genap, x <10 }
Bilangan Asli
Bilangan tidak pernah lepas dari kehidupan sehari-hari. Kita dapat menghitung banyaknya buku dalam rak, banyaknya mobil yang berlalu-lalang dan banyaknya jeruk dalam kantong plastik. Dalam perhitungan sederhana seperti yang disebutkan sebelumnya kita menggunakan bilangan asli yaitu 1,2,3,4,5,… Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan N,
N = { 1, 2, 3, 4, … }
Bilangan Bulat
Dalam pengukuran suhu suatu daerah kita mengenal bilangan-bilangan negatif …,-3, -2, -1 dan juga bilangan 0. Himpunan bilangan asli yang digabungkan dengan bilangan 0 dan bilangan-bilangan negatif akan membentuk suatu himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan Z,
sistem bilangan real kalkulus 1
Perhatikan bahwa himpunan bilangan asli N termuat di dalam Z, sehingga dapat dituliskan:
bilangan asli N
Bilangan Rasional
Pengukuran suatu besaran dalam fisika membutuhkan ketelitian. Hal ini dikarenakan tidak semua suhu di muka bumi ini dapat dinyatakan dalam bilangan bulat. Begitu juga dalam pengukuran panjang suatu tali, tinggi suatu pohon dan pengukuran obyek lainnya. Dalam pengukuran suatu besaran kita kerap menjumpai bilangan-bilangan desimal ataupun pecahan seperti 0,5337; 0,95; \frac{1}{2}; \frac{7}{8}. Bilangan-bilangan tersebut disebut bilangan rasional. Himpunan semua bilangan rasional dinotasikan dengan Q.
Definisi :
Q = { \frac{a}{b}│a, b ∈ Z, b ≠ 0}
Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan bulat a dengan bilangan bulat b, b≠0.
Contoh :
Bilangan 0,5 merupakan bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam bentuk \frac{1}{2}, bilangan 3 merupakan bilangan rasional karena merupakan pembagian dari 6 dengan 2 atau dapat dituliskan \frac{6}{2}.
Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional. Lalu apakah bilangan bulat lainnya juga merupakan bilangan rasional? Perhatikan uraian berikut:
- Semua bilangan bulat positif merupakan bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan positif atau pembagian dua bilangan negatif.
Contoh : Bilangan 3 merupakan bilangan rasional karena merupakan pembagian dari 6 dengan 2 atau dapat dituliskan \frac{6}{2}.
- Semua bilangan bulat negatif merupakan bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan positif dengan negatif atau bilangan negatif dengan positif.
Contoh : Bilangan -5 merupakan bilangan rasional karena merupakan pembagian dari -10 dengan 2 atau pembagian dari 10 dengan -2.
- Bilangan 0 merupakan bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam bentuk \frac{0}{k}, dengan k ∈ Z, k ≠ 0
Sehingga bilangan bulat Z juga merupakan bilangan rasional Q (himpunan bilangan bulat Z termuat di dalam Q) dan dapat dituliskan:
bilangan rasional z q
Bilangan Irasional
Selain bilangan rasional yang sudah kita kenal ternyata juga terdapat bilangan tidak rasional yang disebut bilangan irasional. Salah satu contoh bilangan irasional terdapat pada sisi miring dari suatu segitiga siku-siku di bawah ini.
segitiga siku-siku
\sqrt{2} merupakan bilangan irasional. Contoh bilangan irasional lainnya adalah π, \sqrt{29},\sqrt[6]{5} . Himpunan semua bilangan irasional digabung dengan bilangan rasional membentuk sistem bilangan real yang dinotasikan R. Sehingga jelas
sistem bilangan real q r
Dari (*), (**) dan (***) dapat diperoleh hubungan antara himpunan N, Z, Q dan R adalah:
himpunan n z q r
Demikianlah sistem bilangan real yang dikenal dalam matematika.
Catatan Penting :
- Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, … }
- Himpunan bilangan bulat Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
- Himpunan bilangan rasional Q = { \frac{a}{b}│a, b ∈ Z, b ≠ 0}
- N ⊂ Z (himpunan bilangan asli N termuat di dalam himpunan bilangan bulat Z)
- Z ⊂ Q(himpunan bilangan bulat Z termuat di dalam himpunan bilangan rasional Q)
- Q ⊂ R (himpunan bilangan rasional termuat di dalam himpunan bilangan real R)
- Dari a, b dan c diperoleh hubungan antara himpunan bilangan N, Z, Q dan R adalah N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. (N, Z dan Q merupakan himpunan bagian dari R)